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Analisi matematica 1
Giovanni EMMANUELE
2016/2, 584 pagine, formato 21x29.7 cm,
53.00
ISBN 88-371-1925-9
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Il
presente volume � rivolto, soprattutto, agli studenti dei Corsi di
Laurea di Matematica, Fisica, Ingegneria e Informatica, anche se
potrebbe essere sicuramente usato in tutti i corsi di laurea che
richiedono lo studio del calcolo differenziale e del calcolo
integrale. E perci� esso contiene tutti gli argomenti che vengono
solitamente trattati
nei corsi di Analisi Matematica I. Il decimo ed ultimo capitolo,
invece, descrive alcuni metodi risolutivi di certi tipi di equazioni
differenziali ordinarie che comunemente sono parte dei corsi di
Analisi Matematica II, ma che vengono qui inclusi perch� spesso lo
studente si trova a dover affrontare la ricerca delle soluzioni di
certe equazioni differenziali prima ancora di averle studiate in
Analisi Matematica, in modo da sapere come sia possibile determinare
tali soluzioni, senza dover aspettare il corso di Analisi Matematica
II. Ampio spazio � dato ad alcuni argomenti che di solito si �
costretti a trattare piuttosto velocemente nei corsi tradizionali,
quali i numeri reali, la connessione fra la completezza secondo
Dedekind e quella secondo Cauchy dell�insieme dei numeri reali, la
possibilit� di ottenere maggiorazioni dell�errore, lo studio delle
successioni definite per ricorrenza, l�impiego del calcolo
differenziale al fine di dimostrare identit� o disuguaglianze, le
funzioni convesse derivabili, l�integrazione su insiemi unione di
intervalli a due a due disgiunti, le tecniche di integrazione
indefinita (Integrazione per Parti, Integrazione per Sostituzione),
l�impossibilit� di calcolare in maniera esplicita primitive
elementari di certe funzioni, il problema dell�esistenza o della non
esistenza di primitive, i metodi risolutivi di alcuni tipi di
equazioni differenziali. `E inoltre presente una gran quantit� di
limiti notevoli e di integrali indefiniti immediati. Fra gli esempi
presentati ve ne sono un discreto numero relativi alle applicazioni
dell�Analisi Matematica alle altre Scienze. Dove possibile viene
fatto uso di una visualizzazione geometrica dei concetti introdotti,
che li renda pi� intuitivi. Sono presenti esercizi sia a carattere
teorico che a carattere pi� tecnico, poich�, a nostro giudizio,
entrambi servono ad una migliore comprensione sia analitica che
globale della materia. E questo dovrebbe essere lo scopo ultimo di un
corso universitario. Crediamo, infatti, che non bisogna solo fornire
conoscenze di tecniche, ma soprattutto far acquisire capacit� di
analisi critica e di ragionamento. Sar� poi piuttosto semplice
impadronirsi delle varie tecniche. La gran parte delle dimostrazioni
� standard (come � naturale per un corso di Analisi Matematica I),
anche se alcune di esse sono non usuali. Molti esempi ed esercizi sono
presi da materiale di varia origine (libri, compiti d�esame,
appunti, pagine di internet). Hanno comunque una caratteristica
comune: essi servono ad insegnare qualcosa di nuovo e non sono
soltanto una semplice ripetizione di fatti o tecniche ben noti; altri
sono originali e dovuti all�autore. Tutti gli argomenti considerati
vengono affrontati rigorosamente ed in maniera approfondita, in modo
che abbiano pari dignit�. Le definizioni vengono illustrate con
commenti ed esempi affinch� siano chiare e di esse sono evidenziati i
punti salienti. Molti dei risultati presentati, soprattutto quelli
universalmente riconosciuti come i pi� importanti teoremi
dell�Analisi Matematica classica, vengono introdotti attraverso
opportuni commenti che tentano di indirizzare il lettore attento sulla
giusta via di pensiero, in modo tale che il successivo teorema e la
sua dimostrazione non risultino inaspettati. Tali risultati vengono in
seguito illustrati attraverso lo svolgimento di molti esempi ed
esercizi, affinch� emergano aspetti diversi delle questioni trattate.
In quest�ottica per qualche risultato fondamentale (Teorema di
Borel-Heine, Teorema di Bolzano-Weierstrass, Teorema di Esistenza
degli Zeri, Teorema di Weieirstrass, Teorema di Cantor-Heine, ... )
viene fornita (o suggerita) pi� di una dimostrazione; si spera cos�
di renderne pi� semplici la comprensione e la memorizzazione. Alcuni
esempi vengono dapprima svolti attraverso l�uso della sola
definizione e poi vengono ripresi pi� volte attraverso l�impiego
dei teoremi e delle tecniche che via via vengono acquisiti, in modo da
sottolineare le differenze, sia da un punto di vista puramente teorico
che da un punto di vista pi� tecnico, fra una definizione ed una
condizione necessaria e/o sufficiente perch� un certo fatto accada o
fra l�uso di una certa tecnica e quello di un�altra. In
particolare, si � cercato di inserire un buon numero di esempi svolti
e di esercizi che utilizzano nozioni, risultati e tecniche relativi a
buona parte del materiale acquisito fin a quel momento, e numerosi
esercizi di varia natura, per ognuno degli argomenti trattati, che
aiutino il lettore a valutare la propria comprensione della materia e
la padronanza acquisita.
Indice: I numeri reali. I numeri complessi. Successioni di numeri reali e
complessi. Serie numeriche in R e in C. Il concetto di limite per le funzioni. Funzioni
continue. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. Funzioni
convesse di una variabile reale. Integrazione indefinita. Integrazione secondo Riemann:
Integrazione in senso improprio. Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni
differenziali.
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