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Note di analisi matematica.
Funzioni di pi� variabili
Mariano GIAQUINTA, Giuseppe MODICA
2006, 256 pagine, formato 17x24 cm,
23.00
ISBN 88-371-1626-8
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Questo volume raccoglie ad uso degli
studenti gli argomenti usualmente trattati nel secondo corso di Analisi Matematica. Esso
contiene in particolare gli argomenti discussi nel corso di Analisi Matematica II del
corso di laurea triennale in Ingegneria delle Telecomunicazioni dellUniversit� di
Firenze tenuto dal secondo autore nel biennio 2005-2006. Il testo � diviso in 25
capitoli, ciascuno corrispondente grosso modo a due ore di lezione. Sono inclusi 3
capitoli di richiami su argomenti che lo studente dovrebbe gi� conoscere. In un corso di
50 ore, � stato possibile esporre esaurientemente il 70 percento circa del testo.
Ovviamente con una esposizione pi� descrittiva � possibile invece presentare
lintero materiale. Dopo un approccio ai limiti di successioni e alle serie, si
introduce la nozione di spazio metrico e in questo ambito si discute la struttura
topologica, con particolare riferimento agli spazi Rn. Nella seconda parte, dopo un
capitolo dedicato alla nozione di lunghezza di una curva, si introducono le nozioni e i
teoremi fondamentali del calcolo differenziale e si introducono le nozioni di
sottovariet� e di superficie immersa. Quindi si discute il teorema delle funzioni
implicite e ad alcune classiche applicazioni del calcolo: il metodo del gradiente e il
teorema dei moltiplicatori di Lagrange. La terza parte � dedicata ad una panoramica del
calcolo integrale moderno. Dopo una breve carrellata sulla teoria di Lebesgue, sono
sviluppati i teoremi di passaggio al limite e numerosi esempi. Si introduce quindi la
misura di Hausdorff e si enunciano le classiche formule di area e coarea. Lultima
parte � dedicata al calcolo vettoriale. Si discutono i campi conservativi e
irrotazionali, le formule di GaussGreen e il teorema di Stokes nel piano e nello
spazio. Il volume intende portare lattenzione del lettore sulla comprensione delle
idee e dei concetti e sullo studio delle sue prime applicazioni elementari; esso, invece,
non ha lo scopo di sviluppare particolari capacit� tecniche. I teoremi sono spesso
presentati in ipotesi non ottimali e, per quanto possibile, estensioni e generalizzazioni
sono state evitate. Non sono incluse le dimostrazioni inerenti la teoria
dellintegrazione. Ovviamente, si assume che il lettore conosca il calcolo
differenziale e integrale per funzioni di una variabile.
Indice: 1. Richiami: successioni reali e loro limiti. 2. Serie
numeriche, I. 3. Serie numeriche, II. 4. Topologia degli spazi metrici, I. 5. Funzioni
continue. 6. Topologia degli spazi metrici, II. 7. Curve. 8. Richiami: sistemi lineari e
matrici. 9. Richiami: Rn come spazio euclideo. 10. Calcolo differenziale, I. 11. Calcolo
differenziale, II. 12. I teoremi del calcolo differenziale, I. 13. I teoremi del calcolo
differenziale, II. 14. Superfici e immersioni. 15. Funzioni implicite. 16. Qualche
applicazione. 17. Lintegrale di Lebesgue: un breve riassunto, I. 18.
Lintegrale di Lebesgue: un breve riassunto, II. 19. I teoremi di passaggio al
limite. 20. Il calcolo degli integrali, I. 21. Il calcolo degli integrali, II. 22. Misura
e area. 23. Campi conservativi e forme differenziali. 24. Forme chiuse e campi
irrotazionali. 25. Le formule di GaussGreen.
Mariano Giaquinta: Scuola Normale Superiore di Pisa.
Giuseppe Modica: Dipartimento di Matematica Applicata dell'Universit� di Firenze.
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